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4.8 Tree diagrams

树状图 - 连续事件的概率计算与可视化表示

一、核心知识点

1. 树状图的基本原理

树状图用于展示连续事件的结果与概率，通过"分支相乘（乘法原理）"计算联合概率，"路径相加（加法原理）"计算互斥事件的概率。

基本结构：

  • 起点：表示初始状态或第一个实验
  • 分支：表示不同结果的可能性，用概率标注
  • 节点：表示实验结果后的新状态
  • 终点：表示最终结果的概率

2. 放回与不放回的区别

放回情况：每次实验的概率不变，总数不变

不放回情况：每次实验后需更新总数和对应类别数量

关键区别：不放回时顺序会影响最终概率，需要考虑实验的先后顺序

3. 条件概率在树状图中的应用

结合树状图的分支概率，利用公式 \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) 计算条件概率。

计算方法：

  • 识别条件事件A的所有路径
  • 计算目标事件B在这些路径中的概率
  • 求出条件概率的比值

4. 树状图的绘制技巧

绘制步骤：

  • 从左到右绘制，第一级分支表示第一个实验
  • 每个分支标注对应的概率
  • 第二级分支从第一级分支的终点开始
  • 确保所有分支概率之和为1

概率标注：每个分支上标注该分支的条件概率

二、例题

Example 15

A bag contains seven green beads and five blue beads. A bead is taken from the bag at random and not replaced. A second bead is then taken from the bag.

Find the probability that:

a) both beads are green

b) the beads are different colours.

解答

a) 两颗珠子都是绿色

第一步取绿珠概率 \( \frac{7}{12} \)，不放回后剩6绿11珠，第二步取绿珠概率 \( \frac{6}{11} \)。

联合概率：\( \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{7}{22} \)。

b) 珠子颜色不同

不同颜色分"绿后蓝"和"蓝后绿"两种情况：

  • 绿后蓝：\( \frac{7}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{35}{132} \)
  • 蓝后绿：\( \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{35}{132} \)

总概率：\( \frac{35}{132} + \frac{35}{132} = \frac{35}{66} \)。

Example 16

The turnout of spectators at a Formula 1 race is dependent upon the weather. On a rainy day, the probability of a big turnout is 0.4, but if it doesn't rain, the probability of a big turnout increases to 0.9. The weather forecast gives a probability of 0.75 that it will rain on the day of the race.

a) Draw a tree diagram to represent this information.

b) Find the probability that there is a big turnout and it rains.

c) Find the probability that there is a big turnout.

解答

a) 树状图结构

F1比赛观众人数树状图

第一分支：雨（R）概率0.75，不雨（R'）概率0.25。

雨的后续分支：大 turnout（B）0.4，不大（B'）0.6；

不雨的后续分支：大 turnout（B）0.9，不大（B'）0.1。

b) 大 turnout且下雨的概率

联合概率：\( P(B \cap R) = P(B|R) \times P(R) = 0.4 \times 0.75 = 0.3 \)。

c) 大 turnout的概率

大 turnout概率为"雨且大"加"不雨且大"：

\( P(B) = 0.3 + (0.25 \times 0.9) = 0.525 \)。

Example 17

A bag contains 6 green beads and 4 yellow beads. A bead is taken from the bag at random, the colour is recorded and it is not replaced. A second bead is then taken from the bag and its colour recorded. Given that both beads are the same colour, find the probability that they are both yellow.

解答

步骤1：计算同色的概率

同绿：\( \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} \)

同黄：\( \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} \)

同色总概率：\( \frac{30 + 12}{90} = \frac{7}{15} \)。

步骤2：计算条件概率

\( P(\text{同黄} | \text{同色}) = \frac{\frac{12}{90}}{\frac{42}{90}} = \frac{2}{7} \)。

三、树状图绘制与计算技巧

1. 树状图绘制技巧

基本规则：

  • 从左到右绘制，清晰显示实验顺序
  • 每个分支标注对应的概率
  • 确保从每个节点出发的分支概率和为1
  • 用不同的颜色或样式区分不同类型的分支

标注规范：

  • 每个分支上标注条件概率
  • 最终路径概率是所有分支概率的乘积
  • 边缘概率是到达同一终点的所有路径概率之和

2. 不放回实验的概率计算

计数更新：

  • 每次实验后更新剩余总数
  • 更新特定类别剩余数量
  • 注意顺序敏感性（先取什么影响后取概率）

计算示例：

  • 第一步：\( \frac{k}{n} \)（k个目标，n个总数）
  • 第二步：\( \frac{k-1}{n-1} \)（不放回）
  • 联合概率：\( \frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1} \)

3. 放回实验的概率计算

概率不变：

  • 每次实验概率相同
  • 总数和类别数量不变
  • 联合概率是各步概率的乘积

计算示例：

  • 第一步：\( \frac{k}{n} \)
  • 第二步：\( \frac{k}{n} \)（放回）
  • 联合概率：\( \frac{k}{n} \times \frac{k}{n} = \left(\frac{k}{n}\right)^2 \)

4. 条件概率在树状图中的计算

受限路径：

  • 识别所有导致条件事件发生的路径
  • 计算这些路径中目标事件发生的概率
  • 求出条件概率的比值

计算公式：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)